Question

某零件制造車間有工人20名，已知每名工人每天可制造甲種零件6個或乙種零件5個，且每制造一個甲種零件，可獲利潤150元，每制造一個乙種零件可獲利潤260元，在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件，且生產乙種零件的個數不超過甲種零件個數的一半．
（1）請寫出此車間每天所獲利潤y（元）與x（人）之間的函數關系式；
（2）求自變量x的取值范圍；
（3）怎樣安排生產每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）整個車間所獲利潤=甲種零件所獲總利潤+乙種零件所獲總利潤；
（2）根據零件零件個數均為非負整數以及乙種零件的個數不超過甲種零件個數的一半可得自變量的取值范圍；
（3）根據（1）得到的函數關系式可得當x取最小整數值時所獲利潤最大．

解答：解：（1）此車間每天所獲利潤y（元）與x（人）之間的函數關系式是
y=6x•150+5（20-x）•260=26000-400x．（3分）

（2）由

x≥0 20-x≥0 5(20-x)≤ 1 2 •6x

解得12.5≤x≤20
因為x為整數，所以x=13，14，…，20（3分）

（3）∵y隨x的增大而減小，
∴當x=13時，y_最大=26000-400×13=20800．
即安排13人生產甲種零件，安排7人生產乙種零件，所獲利潤最大，最大利潤為20800元．（2分）

點評：考查一次函數的應用；得到所獲利潤的關系式以及自變量的取值是解決本題的關鍵和難點．