Question

【題目】如圖1，已知直線EF//GH，且EF和GH之間的距離為1，小明同學制作了一個直角三角形硬紙板ACB，其中∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1．小明利用這塊三角板進行了如下的操作探究：

（1）如圖1，若點C在直線EF上，且∠ACE=20°，求∠1的度數；

（2）若點A在直線EF上，點C在EF和GH之間(不含EF、GH上)，邊BC、AB與直線GH分別交于點D和點K．

①如圖2，∠AKD、∠CDK的平分線交于點O．在△ABC繞著點A旋轉的過程中，∠O的度數是否變化？若不變，求出∠O的度數：若變化，請說明理由；

②如圖3，在△ABC繞著點A旋轉的過程中，設∠EAK=n°，∠CDK=(4m-3n-10)°，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）∠1＝70°；（2）①∠O的度數不發生變化，∠O＝75°；②70°＜m＜115°．

【解析】

（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠1的度數；

（2）①先根據四邊形的內角和得∠AKD＋∠CDK＝360°90°60°＝210°，由角平分線的定義和三角形的內角和可得結論；

②先根據①的結論，結合平行線的性質得：n＝2m110，確認點C邊界上兩點時，n的取值，代入n＝2m110，可得結論．

解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠ACE＝20°，

∴∠ECB＝90°20°＝70°，

∵EF∥GH，

∴∠1＝∠ECB＝70°；

（2）①在△ABC繞著點A旋轉的過程中，∠O的度數不發生變化，

理由是：如圖2，∵∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠AKD＋∠CDK＝360°90°60°＝210°，

∵∠AKD、∠CDK的平分線交于點O，

∴∠OKD＝∠AKD，∠ODK＝∠CDK，

∴∠OKD＋∠ODK＝105°，

∴∠O＝180°105°＝75°；

②∵EF∥GH，

∴∠EAK＝∠AKD＝n°，

由①知：∠AKD＋∠CDK＝210°，

∴n＋4m3n10＝210，

n＝2m110，

如圖3，點C在直線EF上時，∠EAK＝n＝180°60°＝120°，

如圖4，∵AC＝1，且EF和GH之間的距離為1，

∴點C在直線GH上時，∠EAK＝n＝90°60°＝30°，

∵點C在EF和GH之間（不含EF、GH上），

∴30°＜n＜120°，即30＜2m110＜120，

∴m的取值范圍是：70°＜m＜115°．