Question

【題目】已知四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)． 當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），易證AE+CF=EF；
當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF， 在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE= BE，CF= BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF為等邊三角形；
∴AE+CF= BE+ BF=BE=EF；
圖2成立，圖3不成立．
證明圖2．
延長DC至點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，

在△BAE和△BCK中，

則△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF和△EBF中，

∴△KBF≌△EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
圖3不成立，
AE、CF、EF的關(guān)系是AE﹣CF=EF．

【解析】根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF，從而得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，從而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF=EF． 同理圖2可證明是成立的，圖3不成立．