Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+=0有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+的圖象向下平移9個(gè)單位，求平移后的圖象的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，平移后的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），直線y=kx+b（k＞0）過(guò)點(diǎn)B，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線BC上方的拋物線與線段BC組成新的圖象，當(dāng)此新圖象的最小值大于﹣5時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4×≥0，
∴k﹣1≤2，
∴k≤3，
∵k為正整數(shù)，
∴k的值是1，2，3；
（2）∵方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根，
當(dāng)k=1時(shí)，x2+2x=0，不合題意，舍去，
當(dāng)k=2時(shí)，x2+2x+=0，
方程的根不是整數(shù)，不合題意，舍去，
當(dāng)k=3時(shí)，x2+2x+1=0，
解得：x1=x2=﹣1，符合題意，
∴k=3，
∴y=x2+2x+1，
∴平移后的圖象的表達(dá)式y(tǒng)=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；
（3）令y=0，x2+2x﹣8=0，
∴x1=﹣4，x2=2，
∵與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∵直線l：y=kx+b（k＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴函數(shù)新圖象如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值有可能大于﹣5，
令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，
解得：x1=﹣3，x2=1，（不合題意，舍去），
∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，﹣5），
當(dāng)直線y=kx+b（k＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，﹣5），（2，0）時(shí)，
可求得k=1，
由圖象可知，當(dāng)0＜k＜1時(shí)新函數(shù)的最小值大于﹣5．

【解析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根可得△≥0，求出k的取值范圍，然后根據(jù)k為正整數(shù)得出k的值；
（2）根據(jù)方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根進(jìn)行判斷，得出k=3，然后得出函數(shù)解析式，最后根據(jù)平移的性質(zhì)求出平移后的圖象的表達(dá)式；
（3）令y=0，得出A、B的坐標(biāo)，作出圖象，然后根據(jù)新函數(shù)的最小值大于﹣5，求出C的坐標(biāo)，然后根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出此時(shí)k的值，即可得出k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的概念是解答本題的根本，需要知道一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)．