Question

數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：

如圖（1），將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。

求重疊部分（△DCG）的面積。

（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。

（2）合作交流：“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程。

（3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題。“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分(△DMN)的面積。

任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題，直接寫(xiě)出△DMN的面積是　  　.

②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題，并在圖中畫(huà)出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)）。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DC=DB=DA。∴∠B=∠DCB。

又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B。

∴∠FDE=∠DCB。∴DG∥BC。∴∠AGD=∠ACB=90°。∴DG⊥AC。

又∵DC=DA，∴G是AC的中點(diǎn)。

∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3。

∴S_DCG=·CG·DG=×4×3=6。

（2）∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1。

∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°。∴∠B=∠2。

∴∠1=∠2。∴GH=GD。

∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3。∴AG=GD。∴AG=GH。

∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)。

在Rt△ABC中，AB= 10，

∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=AB=5。

在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°，

∴△ADH∽△ACB。 ∴，即，解得。

∴S_△DGH＝S_△ADH＝×·DH·AD=××5=。

 （3）①。

②如圖4，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交A C于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。（答案不唯一）

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)證明DG是Rt△ABC的中位線(xiàn)，即可求得重疊部分（△DCG）的面積。

（2）通過(guò)證明S_△DGH＝S_△ADH，即可求得重疊部分（△DGH）的面積。

（3）①如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至（2）的位置△DE′F′，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥DM交DE′于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥DM交DF′于點(diǎn)Q，則

∵∠NDQ=∠QDM（旋轉(zhuǎn)角相等），DM=MN，∠DNQ=∠DQM=90°，

∴△ABC≌△FDE（ASA）。

∴S_△DDMN＝S_△DGH＝=。

②開(kāi)放型（答案不唯一）。