Question

如圖，二次函數y=x²+bx+c圖象與x軸交于A，B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，頂點為M，△MAB為直角三角形，圖象的對稱軸為直線x=-2，點P是拋物線上位于A，C兩點之間的一個動點，則△PAC的面積的最大值為（　　）

A． 27 4

B． 11 2

C． 27 8

D．3

Answer 1

∵x=-

b

2a

=-2，且a=1，∴b=4；
則，拋物線：y=x²+4x+c；
∴AB=x_B-x_A=

(xA+xB)2-4xAxB

=

16-4c

=2

4-c

，點M（-2，c-4）；
∵拋物線是軸對稱圖形，且△MAB是直角三角形，
∴△MAB必為等腰直角三角形，則有：AB=2

4-c

=2|c-4|，
解得：c=3；
∴拋物線：y=x²+4x+3，且A（-3，0）、B（-1，0）、C（0，3）．
過點P作直線PQ∥y軸，交直線AC于點Q，如右圖；
設點P（x，x²+4x+3），由A（-3，0）、C（0，3）易知，直線AC：y=x+3；
則：點Q（x，x+3），PQ=（x+3）-（x²+4x+3）=-x²-3x；
S_△PAC=

1

2

PQ×OA=

1

2

×（-x²-3x）×3=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴△PAC有最大面積，且值為

27

8

；
故選C．