Question

（2012•岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結論：①OD²=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S_梯形ABCD=

1

2

CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（　　）

A．①②⑤

B．②③④

C．③④⑤

D．①④⑤

Answer 1

分析：連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據切線的性質得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD²=DE•CD，選項①正確；又ABCD為直角梯形，利用梯形的面積計算后得到梯形ABCD的面積為

1

2

AB（AD+BC），將AD+BC化為CD，可得出梯形面積為

1

2

AB•CD，選項④錯誤，而OD不一定等于OC，選項③錯誤，即可得到正確的選項．

解答：解：連接OE，如圖所示：

∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，

OD=OD DA=DE

，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項⑤正確；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴

OD

DC

=

DE

OD

，即OD²=DC•DE，選項①正確；
而S_梯形ABCD=

1

2

AB•（AD+BC）=

1

2

AB•CD，選項④錯誤；
由OD不一定等于OC，選項③錯誤，
則正確的選項有①②⑤．
故選A

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及梯形面積的求法，利用了轉化的數學思想，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．