Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設AP＝x，
（1）求AD的長；
（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；
（3）直接寫出：當△CDP為等腰三角形時x的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：過點D作DE//BC交AB于點E，
∵BE//CD，DE//BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
又∵BC＝4，
∴DE=BC=4，
∵DE//BC，∠B＝60°，
∴∠DEA=∠B＝60°，
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADE= 90°-∠DEA=30°，
∴AE=DE=2，
∴AD==2.

（2）解：∵△ADP中，∠A=90°，
∴△PBC是直角三角形，
∵∠B＝60°，
∴∠BPC=90°或∠BCP=90°，
①當∠BPC=90°時，△BCP≌△EDA，
∴AE=BP=2，CP=AD=2，
∴AP=x=AB-BP=10-2=8，
∴≠，
又∵∠A=∠BPC=90°，
∴△ADP與△CPB不相似；
②當∠BCP=90°時，∠BPC=90°-∠B=30°，
∵BC＝4，AB＝10，
∴BP=2BC=8，AP=x=AB-BP=10-8=2，
∴==2，
又∵∠A=∠BCP=90°，
∴△ADP∽△CPB，
綜上可知，x=2時，結論成立.
（3）解：①當PD=PC時，x=4；
②DP=DC時， x= 2 ；
③PC=CD時，x=8-2.
【解析】解：（3）作CF⊥AB交AB于F，

∵BC＝4，∠B＝60°，
∴BF=BC=2，
∵AB＝10，
∴AF=CD=10-2=8，
∵AP=x，AD=2，
∴PF=8-x，CF=2，
①當PD=PC時，
∴AD2+AP2=PF2+CF2，
即x2=（8-x）2，
∴x=4；
②DP=DC=8時，
∴AD2+AP2=DP2，
即12+x2=64，
∴x= 2 ；
③PC=CD=8時，
∴PF2+CF2=PC2，
即12+（8-x）2=64，
∴x=8-2.

【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．