Question

閱讀：D為△ABC中BC邊上一點，連接AD，E為AD上一點．
如圖1，當D為BC邊的中點時，有S_△EBD=S_△ECD，S_△ABE=S_△ACE；
當

BD

DC

=m時，有

S△EBD

S△ECD

=

S△ABE

S△ACE

=m．
解決問題：
在△ABC中，D為BC邊的中點，P為AB邊上的任意一點，CP交AD于點E、設△EDC的面積為S₁，△APE的面積為S₂．
（1）如圖2，當

BP

AP

=1時，

S1

S2

的值為

 

；
（2）如圖3，當

BP

AP

=n時，

S1

S2

的值為

 

；
（3）若S_△ABC=24，S₂=2，則

BP

AP

的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）由已知得，P為AB的中點，根據三角形三條中線交于一點的性質，對面積進行轉化；
（2）由于AD為中線，可知，∴S_△EBD=S_△ECD，S_△ABE=S_△ACE，根據“等高的兩個三角形面積比等于底邊的比”，列出等式求

S1

S2

；
（3）充分運用（2）的結論，已知條件，列方程組求n，即

S1

S2

的值．

解答：解：如圖：
（1）連接BE，延長交AC于F．
∵D為BC中點，∴S_△EBD=S_△ECD，S_△ABE=S_△ACE，
∵P為AB上的一點，且

BP

AP

=1，
∴F為AC的中點（三角形三條中線交于一點）．
∴S_△AEP=S_△BEP，S_△AEF=S_△CEF，S_△ABF=S_△CBF，
∵S_△ABF=S_△AEP+S_△BEP+S_△AEF=2S_△AEP+S_△AEF=S_△EBD+S_△ECD+S_△CEF=2S_△ECD+S_△CEF∴S_△AEP=S_△ECD，∴

S1

S2

=1．


（2）當

BP

AP

=n時，S_△BPE=nS_△APE=nS₂，
S_△BEC=2S₁，S_△AEC=S_△AEB=（n+1）S₂，
由S_△BPC=nS_△APC，得
2S₁+nS₂=n（S₂+S₂+nS₂）
解得：

S1

S2

=

n2+n

2

；

（3）當S_△ABC=24，S₂=2，
由（2）的結論可知，

2S1+2(n+1)S2=24 S2=2 S1=n2+n

，
解得n=2或-5（舍去負值）．
∴

BP

AP

=2．

點評：本題考查了三角形的中線等分面積的性質，等高的兩個三角形面積比等于底邊的比的性質．