Question

【題目】△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，點D在AB邊上（不與點A，B重合），以CD為腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如圖1，作EF⊥BC于F，求證：△DBC≌△CFE；

（2）在圖1中，連接AE交BC于M，求 的值；

（3）如圖2，過點E作EH⊥CE交CB的延長線于點H，過點D作DG⊥DC，交AC于點G，連接GH．當點D在邊AB上運動時，式子 的值會發生變化嗎？若不變，求出該值；若變化請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△CDE為等腰直角三角形，∠DCE=90°．

∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，

∵EF⊥BC，

∴∠ECF+∠CEF=90°，

∴∠DCB=∠CEF，

在△DBC和△CEF中，

，

∴△DBC≌△CFE

（2）

解：如圖1，

∵△DBC≌△CFE，

∴BD=CF，BC=EF，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC，

∴AB=EF，AD=BF，

在△ABM和△EFM中，

，

∴△ABM≌△EFM，

∴BM=FM，

∴BF=2BM，

∴AD=2BM，

∴ 的值為2

（3）

解： 的值不變．

在EH上截取EQ=DG，如圖2，

在△CDG和△CEQ中

，

∴△CDG≌△CEQ，

∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，

∵∠DCG+∠DCB=45°，

∴∠ECQ+∠DCB=45°，

而∠DCE=90°，

∴∠HCQ=45°，

∴∠HCQ=∠HCG，

在△HCG和△HCQ中，

，

∴△HCG≌△HCQ，

∴HG=HQ，

∴ = = =1．

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根據“AAS”可證明△DBC≌△CFE；（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC為等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接著證明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以 =2；（3）在EH上截取EQ=DG，如圖2，先證明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，則∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再證明△HCG≌△HCQ，則得到HG=HQ，然后可計算出 =1．
【考點精析】利用等腰直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．