Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（1）當M點在（何處）時，AM＋CM的值最小；
（2）當AM+EM的值最小時，∠BCM=°.
（3）①求證：△AMB≌△ENB；②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）BD的中點
（2）15
（3）解：①∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
②如圖，連接CE，

當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：連接MN，
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長.
【解析】（1）①當M點落在BD的中點時，A.M、C三點共線，AM+CM的值最小；
（ 2 ）如圖：

連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+EM的值最小，
過E作EF⊥BC于點F，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，
∴BE=BC，∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠BCM= ∠EBF=15°；
（1）根據兩點之間線段最短，①當M點落在BD的中點時，A.M、C三點共線，AM+CM的值最小。
（2）連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+EM的值最小，過E作EF⊥BC于點F，根據已知ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，得出BE=BC，∠EBF=30°，再根據三角形外角的性質，求出∠BCM的度數即可。
（3）①根據等邊三角形的性質得出BA=BE，∠ABE=60°，根據∠MBN=60°，然后證明△AMB≌△ENB即可；②連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，再根據已知及①的結論證明AM=EN，BM=MN，將AM、BM、CM轉化到同一條線段上，根據兩點之間線段最短，即可得出答案。