Question

【題目】如圖，已知一次函數y＝﹣x與二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象相交于原點O和另一點A（4，﹣4）．

（1）求二次函數表達式；

（2）直線x＝m和x＝m+2分別交線段AO于C、D，交二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象于點E、F，當m為何值時，四邊形CEFD是平行四邊形；

（3）在第（2）題的條件下，設CE與x軸的交點為M，將△COM繞點O逆時針旋轉得到△C′OM′，當C′、M′、F三點第一次共線時，請畫出圖形并直接寫出點C′的縱坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x；（2）當m為1時，四邊形CEFD是平行四邊形；（3）圖詳見解析，C′（，）．

【解析】

（1）把（0，0），A（4，﹣4）代入y＝-x2+bx+c，即可求解；

（2）設C（m，﹣m），D（m+2，﹣m﹣2），表示出E，F坐標，根據CE∥DF，可得當CE＝DF時，四邊形CEFD為平行四邊形，即﹣m2+3m+m＝﹣m2﹣m+2+m+2，即可求解；

（3）作C′H⊥x軸于H，可證△FHC′∽△FM′O，則，即，即可求解．

解：（1）把（0，0），A（4，-4）代入y＝﹣x2+bx+c得，

解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x；

（2）設C（m，﹣m），D（m+2，﹣m﹣2），

則E（m，﹣m2+3m），F[m+2，﹣（m+2）2+3（m+2）]，即F（m+2，﹣m2﹣m+2），

∵CE∥DF，

∴當CE＝DF時，四邊形CEFD為平行四邊形，

即﹣m2+3m+m＝﹣m2﹣m+2+m+2，

解得m＝1，

即當m為1時，四邊形CEFD是平行四邊形；

（3）畫圖如下，作C′H⊥x軸于H，

當m＝1時，C（1，-1），D（3，-3），F（3，0），即F點為拋物線與x軸的一個交點，

∴OM＝CM＝1，OC＝，

∵△COM繞點O逆時針旋轉得到△C′OM′，

∴OM′＝C′M′＝1，∠OM′C′＝∠OMC＝90°，

在Rt△OM′F中，FM′＝ ＝2，

∴FC′＝2﹣1，

∵∠C′FH＝OFM′，

∴△FHC′∽△FM′O，

∴，即，

∴FH＝，C′H＝，

∴OH＝OF﹣FH＝，

∴C′（，）．