Question

已知：如圖，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于點E，交⊙O于點C，OE=1，BE=8，AE：AB=1：3．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）點F是弧ACD上的一點，當∠AOF=2∠B時，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）先連接OA，由AE：AB=1：3，設AE=x，則AB=3x．根據OB⊥AD于E，BE=8，利用勾股定理求出AE的長、AB的長，再在Rt△AEO中，根據勾股定理求出AO的長，又因為AB²+OA²=81，OB²=81，所以OB²=AB²+OA²．從而證得△OAB是直角三角形．所以OA⊥AB．從而證得AB是⊙O的切線．
（2）作直徑AM，連接DM，得到∠DOM=2∠OAE，再由∠B=∠OAE，得到∠DOM=2∠B．由點O是AM的中點，點E是AD的中點，OE=1，得到DM=2OE=2．再將△ODM繞點O順時針方向旋轉，得到∠AOF=∠DOM=2∠B，當點D與點A重合時，點M與點F重合．從而求得AF=DM=2．

解答：（1）證明：連接OA．
∵AE：AB=1：3，
∴設AE=x，則AB=3x．
∵OB⊥AD于E，BE=8，
∴（3x）²=x²+8²．
解得x=2

2

（舍負）．
∴AE=2

2

，AB=6

2

．
∵OE=1，
∴AO=

AE2+OE2

=3．
∵AB²+OA²=81，OB²=81，
∴OB²=AB²+OA²．
∴△OAB是直角三角形．
∴OA⊥AB．
∴AB是⊙O的切線．

（2）解：作直徑AM，連接DM．
∴∠DOM=2∠OAE．
∵∠B=∠OAE，
∴∠DOM=2∠B．
∵點O是AM的中點，點E是AD的中點，OE=1，
∴DM=2OE=2．
將△ODM繞點O順時針方向旋轉，
∵∠AOF=∠DOM=2∠B，
∴當點D與點A重合時，點M與點F重合．
∴AF=DM=2．

點評：本題考查了切線的判斷與性質、勾股定理以及垂徑定理，此題綜合性較強，難度適中，有利于學生能力提高．