Question

【題目】已知拋物線（是常數）與軸交于兩點，與軸交于點.

（Ⅰ）當時，求拋物線的解析式及頂點坐標；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，為拋物線上的一個動點.

①求當關于原點的對稱點落在直線上時，求的值；

②當關于原點的對稱點落在第一象限內，取得最小值時，求的值及這個最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），拋物線的頂點坐標為 ； （Ⅱ）①的值為或；②的值為，的最小值為

【解析】

（Ⅰ）用待定系數法求出b、c即可得出解析式和頂點坐標;

（Ⅱ）①先用待定系數法求出直線BC的解析式，由于點P’與點P（m,t）關于原點對稱，故點P’的坐標為（-m,-t），將其代入直線BC解析式，即可求解；

②點P’落在第一象限可得m<0,t<0，連接AP’，過點P’作P’H⊥x軸于點H，則H（-m，0），可得在Rt△P’AH中，，可以得到的長度關于m的函數關系式，通過配方法可以求出的最小值.

（Ⅰ）∵拋物線 經過點A（-1,0）C（0，-3），

∴，解得.

∴拋物線的解析式為

∵，

∴拋物線的頂點坐標為（1，-4）.

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知與x軸交點B的坐標為（3,0），與y軸交點C的坐標為（0，-3）.

設直線BC的解析式為y=kx+b（k0），

∴.解得.

∴直線BC的解析式為y=x-3.

∵點P’與點P（m,t）關于原點對稱，∴點P’的坐標為（-m,-t）.

∵點P關于原點的對稱點P’ （-m,-t）落在直線BC上，

∴-t=-m-3，即t=m+3.

∵點P（m,t）在拋物線上，∴.

∴.解得或.

∴的值為或.

②∵點P（m,t）關于原點的對稱點P’ （-m,-t）落在第一象限內，

∴-m>0,-t>0，即m<0,t<0.

∵點P（m,t）在拋物線上，∴..

∴

連接AP’，過點P’作P’H⊥x軸于點H，則H（-m，0）.

∵A（-1,0），∴.

∵在Rt△P’AH中，，

∴，

∵1>0，∴當時，有最小值.

∴，

解得或（舍去），

∴的值為，的最小值為.