Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD，AB=，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G．

（1）求證：∠ABM=30°；

（2）求證：△BMG是等邊三角形；

（3）若P為線段BM上一動點，求PN+PG的最小值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由對折，判斷出BN垂直平分MG，通過計算即可；

（2）由（1）∠ABM=∠NBM=GBN=30°，得出∠MBG=60°，即可；

（3）先計算出BG=BM=2，再判斷出點N與點A關于直線BM對稱，得到PN+PG的最小值為AG，計算即可．

試題解析：（1）∵對折AD與BC重合，

∴點E是AB的中點，

∴點N是MG的中點，

∵∠BNM=∠A=90°，

∴BN垂直平分MG，

∴BM=BG，

∴∠GBN=∠MBN，

由翻折的性質，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=∠GBN=×90°=30°，

∴∠MBG=60°；

（2）由（1）知，∠ABM=∠NBM=GBN=30°，

∴∠MBG=60°，

∵BM=BG，

∴△BMG為等邊三角形，

（3）如圖，

連接PN，PA，PG，

∵AB=，∠ABM=30°，

∴BM=2，

∴BG=BM=2，

∴由折疊的性質知，點N與點A關于直線BM對稱，

∴PN=PA，

∴PN+PG的最小值為AG，

∵AG=，

∴PN+PG的最小值為．