Question

【題目】如圖，已知拋物線經過，兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連結CD．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），設點P的橫坐標為t．

①當點P在直線BC的下方運動時，求的面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點P，使得若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，或．

【解析】

（1）將點A、B坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）①，即可求解；②分點P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．

解：（1）將點A、B坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：…①，

令，則或，

即點；

（2）①如圖1，過點P作y軸的平行線交BC于點G，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的表達式為：…②，

設點，則點，

，

，有最大值，當時，其最大值為；

②設直線BP與CD交于點H，

當點P在直線BC下方時，

，點H在BC的中垂線上，

線段BC的中點坐標為，

過該點與BC垂直的直線的k值為﹣1，

設BC中垂線的表達式為：，將點代入上式并解得：

直線BC中垂線的表達式為：…③，

同理直線CD的表達式為：…④，

聯立③④并解得：，即點，

同理可得直線BH的表達式為：…⑤，

聯立①⑤并解得：或（舍去），

故點；

當點在直線BC上方時，

，，

則直線BP′的表達式為：，將點B坐標代入上式并解得：，

即直線BP′的表達式為：…⑥，

聯立①⑥并解得：或（舍去），

故點；

故點P的坐標為或．