Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于點(diǎn)A（﹣2，0）和B（B在A右側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，直線y=經(jīng)過點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D，且D為OC中點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PH⊥BD于H，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是t，線段PH的長度是d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)d=時(shí)，將射線PH繞著點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°交拋物線于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）P（，）；（3）Q（0，4）．

【解析】試題分析：(1)首先求出點(diǎn)B坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可解決問題.

(2)設(shè)P（t，﹣t2+t+4），,由cos∠HPM=cos∠DBO，可得,由此構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

(3) 過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)H作HG⊥PF于點(diǎn)G，BD與PQ交于點(diǎn)N,過N作NE⊥HG于E.由全等三角形△PHG≌△HNE，的性質(zhì),(2)中函數(shù)解析式求得點(diǎn)P、N的坐標(biāo),然后由直線與拋物線的解析式求得交點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解：（1）∵y=2kx﹣12k 經(jīng)過B點(diǎn)，

∴當(dāng)y=0，x=6，

∴B（6，0），又∵A（﹣2，0），

∴，

解得，

∴y=﹣x2+x+4．

（2）如圖，過點(diǎn)P作PM∥y軸交BD于點(diǎn)M，設(shè)P（t，﹣t2+t+4），

∵CD=OD，

當(dāng)x=0時(shí)y=4，

∴C（0，4）

∴OD=2，

∴D（0，2），

∴BD=2，

設(shè)直線BD解析式為y=mx+n，

∴6m+n=0，n=2，

∴yBD=﹣x+2，

∴M（t，﹣t+2），

∴PM=﹣t2+t+2，

∵∠HPM=∠DBO，

∴cos∠HPM=cos∠DBO，

∴=，

∴=，

∴d=﹣t2+t+，

∴d=﹣（t﹣）2+，

∴當(dāng)t=時(shí)，PH值最大，

∴P（，）．

（3）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)H作HG⊥PF于點(diǎn)G，BD與PQ交于點(diǎn)N，過N作NE⊥HG于E．

∵∠HPN=45°，PH⊥BD，

∴PH=HN，

∴△PHG≌△HNE，

∴HG=NE，PG=EH，

∵由（2）知，d=﹣t2+t+，即：d=﹣（t﹣）2+，

∴當(dāng)t=時(shí)，PH=，

∴P（，）．

當(dāng)PH=時(shí)，HG=PG=，

∴EH=，EN=，

∴N（﹣，），P（，），

∴yPN=x+4，

由，

解得或，

∴Q（0，4）．