Question

【題目】如圖，已知中， ，點為斜邊上一點，且，以為半徑的與相切于，與交于點，連接．

（1）求線段的長；

（2）求與重疊部分的面積．（結果保留準確值）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質和直角三角形的性質得出OB＝2OD＝4，BD＝OD＝，得出AB＝OA＋OB＝6，AC＝AB＝3，BC＝AC＝，即可得出結果；
（2）連接OE，證出△OAE是等邊三角形，得出∠AOE＝60°，∠EOG＝120°，作EF⊥OA于F，則OF＝1，EF＝OF＝，⊙O與Rt△ABC重疊部分的面積＝△AOE的面積＋扇形OEDG的面積，即可得出結果．

解：（1）連接OD，如圖1所示：

∵以OA為半徑的⊙O與BC相切于D，
∴∠ODB＝90°，
∵OD＝OA＝2，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OB＝2OD＝4，BD＝OD＝，

∴AB＝OA＋OB＝6，
∴AC＝AB＝3，
∴BC＝AC＝，

∴CD＝BCBD＝；
（2）連接OE，如圖2所示：

則OA＝OE，
∵∠CAB＝60°，
∴△OAE是等邊三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOG＝120°，
作EF⊥OA于F，
則OF＝1，EF＝OF＝，
∴⊙O與Rt△ABC重疊部分的面積＝△AOE的面積＋扇形OEDG的面積＝．