【題目】如圖，在四邊形
中，
， 
交
于
，
是的中點，連接
并延長，交
于點
，恰好是的中點.
（1）求
的值；
（2）若
，求證：四邊形
是矩形.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】分析: （1）根據AB∥CD，得到∠ABE=∠EDC.證明△ABE∽△FDE.得到
.進一步說明AB=DF.再證明△ABG∽△CDG，
.
根據AB∥CF，AB=CF，證明四邊形ABCF是平行四邊形. 證明∠CFA=90°.根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明..
（1）∵ AB∥CD，
∴ ∠ABE=∠EDC.
∵ ∠BEA=∠DEF，
∴ △ABE∽△FDE.
∴ .
∵ E是BD的中點，
∴ BE=DE.
∴ AB=DF.
∵ F是CD的中點，
∴ CF=FD.
∴ CD=2AB.
∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，
∴ △ABG∽△CDG.
∴ .
（2）證明：∵ AB∥CF，AB=CF，
∴ 四邊形ABCF是平行四邊形.
∵ CE=BE，BE=DE，
∴ CE=ED.
∵ CF=FD，
∴ EF垂直平分CD.
∴ ∠CFA=90°.
∴ 四邊形
是矩形.
核心素養學練評系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知數軸上點A表示的數為8，B是數軸上位于點A左側一點，且AB＝20，動點P從點A出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t秒．
（1）數軸上點B表示的數是 ，點P表示的數是 ；（用含t的代數式表示）
（2）動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，若點P、Q同時出發，問多少秒時，P、Q之間的距離恰好等于2；
（3）動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發，直接寫出多少秒時，P、Q之間的距離恰好等于2．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法：
①連接兩點間的線段叫這兩點的距離；
②木匠師傅鋸木料時，一般先在模板上畫出兩個點，然后過這兩點彈出一條墨線，這樣做的原理是：兩點之間，線段最短；
③若
三點在同一直線上，且
，則
是線段
的中點；
④若
，則有
．
其中一定正確的是_________(把你認為正確結論的序號都填上) ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在圖1﹣﹣圖4中，菱形ABCD的邊長為3，∠A=60°，點M是AD邊上一點，且DM=
AD，點N是折線AB﹣BC上的一個動點．
（1）如圖1，當N在BC邊上，且MN過對角線AC與BD的交點時，則線段AN的長度為 ．
（2）當點N在AB邊上時，將△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如圖2，
①若點A′落在AB邊上，則線段AN的長度為 ；
②當點A′落在對角線AC上時，如圖3，求證：四邊形AM A′N是菱形；
③當點A′落在對角線BD上時，如圖4，求
的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】我國很多城市水資源缺乏，為了加強居民的節水意識，某市制定了每月用水4噸以內（包括4噸）和用水4噸以上收費標準（收費標準：每噸水的價格）某用戶每月應交水費y（元）與用水量x（噸）之間關系的圖象如圖：
（1）說出自來水公司在這兩個用水范圍內的收費標準；
（2）當x＞4時，求因變量y與自變量x之間的關系式；
（3）若某用戶該月交水費26元，求他用了多少噸水？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，
，
，D是AB的中點，E、F分別是AC、BC上的點（點E不與端點A、C重合），連接EF并取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使
，連接DE、GE、GF.
（1）求證：四邊形EDFG是平行四邊形；
（2）若
，探究四邊形EDFG的形狀？
（3）在（2）的條件下，當E點在何處時，四邊形EDFG的面積最小，并求出最小值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】小明對某市出租汽車的計費問題進行研究，他搜集了一些資料，部分信息如下：
收費項目 | 收費標準 |
3公里以內收費 | 13元 |
基本單價 | 2.3元/公里 |
…… | …… |
備注：出租車計價段里程精確到500米；出租汽車收費結算以元為單位，元以下四舍五入。
小明首先簡化模型，從簡單情形開始研究：①只考慮白天正常行駛（無低速和等候）；②行駛路程3公里以上時，計價器每500米計價1次，且每1公里中前500米計價1.2元，后500米計價1.1元.
下面是小明的探究過程，請補充完整：
記一次運營出租車行駛的里程數為
（單位：公里），相應的實付車費為
（單位：元）.
（1）下表是y隨x的變化情況
行駛里程數x | 0 | 0＜x＜3.5 | 3.5≤x＜4 | 4≤x＜4.5 | 4.5≤x＜5 | 5≤x＜5.5 | … |
實付車費y | 0 | 13 | 14 | 15 | … |
（2）在平面直角坐標系
中，畫出當
時隨變化的函數圖象；
（3）一次運營行駛公里（
）的平均單價記為
（單位：元/公里），其中
.
①當
和
時，平均單價依次為
，則的大小關系是____________；（用“＜”連接）
②若一次運營行駛公里的平均單價不大于行駛任意
（
）公里的平均單價
，則稱這次行駛的里程數為幸運里程數.請在上圖中軸上表示出
（不包括端點）之間的幸運里程數的取值范圍.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，小明所在教學樓的每層高度為3.5 m，為了測量旗桿MN的高度，他在教學樓一樓的窗臺A處測得旗桿頂部M的仰角為45°，他在二樓窗臺B處測得M的仰角為31°，已知每層樓的窗臺離該層的地面高度均為1 m.
(1)AB＝________m；
(2)求旗桿MN的高度．(結果保留兩位小數)
(參考數據：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】下圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘的某次實驗的結果. 隨著實驗次數的增加，“釘尖向上”的頻率總在一常數附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“釘尖向上”的概率是_________
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