Question

【題目】如圖，折疊矩形OABC的一邊BC，使點C落在OA邊的點D處，已知折痕BE=5，且，以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物線l：y=－+c經過點E，且與AB邊相交于點F．

（1）求證：△ABD∽△ODE；

（2）若M是BE的中點，連接MF，求證：MF⊥BD；

（3）P是線段BC上一點，點Q在拋物線l上，且始終滿足PD⊥DQ，在點P運動過程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合條件的Q點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）（﹣4，0）或（12，0）

【解析】

試題由折疊和矩形的性質可知∠EDB=∠BCE=90°，可證得∠EDO=∠DBA，可證明△ABD∽△ODE；由條件可求得OD、OE的長，可求得拋物線解析式，結合（1）由相似三角形的性質可求得DA、AB，可求得F點坐標，可得到BF=DF，又由直角三角形的性質可得MD=MB，可證得MF為線段BD的垂直平分線，可證得結論；過D作x軸的垂線交BC于點G，設拋物線與x軸的兩個交點分別為M、N，可求得DM=DN=DG，可知點M、N為滿足條件的點Q，可求得Q點坐標．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCO為矩形，且由折疊的性質可知△BCE≌△BDE，

∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，

∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；

（2）證明：∵，∴設OD=4x，OE=3x，則DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，

又∵△ABD∽△ODE，∴，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即，解得x=1，

∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴拋物線解析式為y=﹣+3，

當x=10時，代入可得y=，∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，

在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF= ∴BF=DF，

又M為Rt△BDE斜邊上的中點，∴MD=MB，∴MF為線段BD的垂直平分線，∴MF⊥BD；

（3）解：由（2）可知拋物線解析式為y=﹣+3，設拋物線與x軸的兩個交點為M、N，

令y=0，可得0=﹣+3，解得x=﹣4或x=12，∴M（﹣4，0），N（12，0），

過D作DG⊥BC于點G，如圖所示，

則DG=DM=DN=8，∴點M、N即為滿足條件的Q點，

∴存在滿足條件的Q點，其坐標為（﹣4，0）或（12，0