Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，點E在射線AC上（不包括點A和點C），過點E的直線GH交直線AD于點G，交直線BC于點H，且GH∥DC，點F在BC的延長線上，CF＝AG，連接ED，EF，DF．

（1）如圖1，當點E在線段AC上時，

①判斷△AEG的形狀，并說明理由．

②求證：△DEF是等邊三角形．

（2）如圖2，當點E在AC的延長線上時，△DEF是等邊三角形嗎？如果是，請證明你的結論；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△AEG是等邊三角形；理由見解析；②證明見解析；（2）△DEF是等邊三角形；理由見解析；

【解析】

（1）①由菱形的性質得出AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝∠BAD＝60°，由平行線的性質得出∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝60°，∠AGE＝∠ADC＝60°，得出∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，即可得出△AEG是等邊三角形；
②由等邊三角形的性質得出AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的性質得出∠BCD＝∠BAD＝120°，得出∠DCF＝60°＝∠CAD，證明△AED≌△CFD（SAS），得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再證出∠EDF＝60°，即可得出△DEF是等邊三角形；
（2）同（1）①得：△AEG是等邊三角形，得出AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的性質得出∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝∠BAD＝60°，得出∠FCD＝60°＝∠CAD，證明△AED≌△CFD（SAS），得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再證出∠EDF＝60°，即可得出△DEF是等邊三角形．

（1）①解：△AEG是等邊三角形；理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝∠BAD＝60°，

∴∠BAD+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝60°，

∵GH∥DC，

∴∠AGE＝∠ADC＝60°，

∴∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，

∴△AEG是等邊三角形；

②證明：∵△AEG是等邊三角形，

∴AG＝AE，

∵CF＝AG，

∴AE＝CF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠BCD＝∠BAD＝120°，

∴∠DCF＝60°＝∠CAD，

在△AED和△CFD中，，

∴△AED≌△CFD（SAS）

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°，

∴∠CDF+∠CDE＝60°，

即∠EDF＝60°，

∴△DEF是等邊三角形；

（2）解：△DEF是等邊三角形；理由如下：

同（1）①得：△AEG是等邊三角形，

∴AG＝AE，

∵CF＝AG，

∴AE＝CF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝∠BAD＝60°，

∴∠FCD＝60°＝∠CAD，

在△AED和△CFD中，，

∴△AED≌△CFD（SAS），

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝60°，

∴∠CDF﹣∠CDE＝60°，

即∠EDF＝60°，

∴△DEF是等邊三角形．