Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，以BC為邊作等邊△BDC，連接AD．

（1）如圖1，直接寫出∠ADB的度數　 　；

（2）如圖2，作∠ABM=60°在BM上截取BE，使BE=BA，連接CE，判斷CE與AD的數量關系，請補全圖形，并加以證明；

（3）在（2）的條件下，連接DE，AE．若∠DEC=60°，DE=2，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）CE=AD，證明詳見解析；（3）AE= ．

【解析】

（1）只要根據已知條件易證△ADB≌△ADC，由全等三角形的性質可得∠ADB=∠ADC，根據周角的定義即可求得∠ADB的度數；（2）結論為CE=AD，證明△ABD≌△EBC，根據全等三角形的性質即可證得結論；（3）證明△BDE是直角三角形，△ABE是等邊三角形即可解決問題；

解：（1）如圖1中，

∵△BDC是等邊三角形，

∴BD=DC，∠BDC=60°，

在△ADB和△ADC中，

，

∴△ADB≌△ADC，

∴∠ADB=∠ADC，

∵∠ADB+∠ADC=360°﹣60°，

∴∠ADB=150°，

故答案為150°．

（2）結論：CE=AD．

理由：∵∠ABE=∠DBC=60°

∴∠ABE﹣∠DBM=∠DBC﹣∠DBM

∴∠1=∠2，

∵AB=BE，BD=DC

∴△ABD≌△EBC

∴CE=AD．

（3）解：

∵△ABD≌△EBC

∴∠BCE=∠BDA=150°

∵∠DCE=90°，∠DEC=60°

∴∠CDE=30°

∵DE=2

∴CE=1，DC=BC=，

∵∠BDE=60°+30°=90°

DE=2，BD=

由勾股BE=，

∵∠ABE=60°AB=BE

∴△ABE是等邊三角形

∴AE=BE=．