Question

【題目】如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=4．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8-

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據圓周角定理求出∠COA，根據三角形內角和定理求出∠OCA，根據切線的判定推出即可；
（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：連接OC，交BD于E，

∵∠B=30°，∠B=∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）∵AC∥BD，∠OCA=90°，BD=4，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE=BD=2，
∵sin∠COD=，
∴OD=4，
在Rt△ACO中，tan∠COA=，
∴AC=4，
∴S陰影=×4×4-=8-．