Question

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM＝｜CF―EO｜，再以CM、CO為邊作矩形CMNO

(1)試比較EO、EC的大小，并說明理由

(2)令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由

(3)在(2)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點且QF＝，拋物線y＝mx²+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式.

 (4)在(3)的條件下，若拋物線y＝mx²+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似?若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標?若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）EO＞EC，理由如下：

由折疊知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF為斜邊，∴EF＞EC， 故EO＞EC

（2）m為定值

∵S_{四邊形CFGH}=CF²=EF²－EC²=EO²－EC²=(EO+EC)(EO-EC)=CO?(EO-EC)

S_{四邊形CMNO}=CM?CO=|CE-EO|?CO=(EO-EC) ?CO

∴

（3）∵CO=1， ∴EF=EO=

∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，

∴

∴△EFQ為等邊三角形，

作QI⊥EO于I，EI=，IQ=

∴IO= ∴Q點坐標為

∵拋物線y=mx²+bx+c過點C(0，1)， Q ，m=1

∴可求得，c=1

∴拋物線解析式為

（4）由（3），

當時，＜AB

∴P點坐標為　

∴BP=AO

方法1：若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下：

①時，∴K點坐標為或

②時， ∴K點坐標為或

故直線KP與y軸交點T的坐標為



方法2：若△BPK與△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，過P作PR⊥y軸于R，則∠RTP=60°或30°

①當∠RTP=30°時，

②當∠RTP=60°時，

∴