Question

已知拋物線y=-x²+（m-2）x+3（m+1）．
（1）求證：無論m為任何實數，拋物線與x軸總有交點；
（2）設拋物線與y軸交于點C，當拋物線與x軸有兩個交點A、B（點A在點B的左側）時，如果∠CAB或∠CBA這兩角中有一個角是鈍角，那么m的取值范圍是

 

；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線的頂點，當△PAO的面積與△ABC的面積相等時，求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據判別式解出無論m為任何實數都大于零，再判斷出物線與x軸總有交點．
（2）根據已有的條件，就能確定出m的取值范圍，即可得到結果．
（3）根據拋物線y=-x²+（m-2）x+3（m+1），求出x_1和x₂的值，即可求出點P的坐標，再分2個方面進行討論，當A（m+1，0）、B（-3，0）時和A（-3，0）、B（m+1，0）時，最后求出結果即可．

解答：（1）證明：∵△=（m-2）²-4×（-1）×3（m+1）
=（m+4）²≥0
∴無論m為任何實數，拋物線與x軸總有交點．
（2）解：∵拋物線與x軸有兩個交點A、B（點A在點B的左側），∠CAB或∠CBA這兩角中有一個角是鈍角，
∴m+1＜0，（可以畫圖象得出），當m=-4，圖象與坐標軸一個交點，
∴m＜-1且m≠-4．
（3）解：令y=-x²+（m-2）x+3（m+1）=0，
解得x₁=m+1，x₂=-3．
可求得頂點P(

m-2

2

，

(m+4)2

4

)．
①當A（m+1，0）、B（-3，0）時，
∵S_△PAO=S_△ABC，
∴

1

2

(m+1)×

(m+4)2

4

=

1

2

(-m-4)×3(m+1)．
解得m=-16．
∴y=-x²-18x-45．
②當A（-3，0）、B（m+1，0）時，
同理得

1

2

×3×

(m+4)2

4

=

1

2

(m+4)×[-3(m+1)]．
解得m=-

8

5

．
∴y=-x2-

18

5

x-

9

5

．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合問題，在解題時要注意找出各點的坐標問題，再把各點代入解析式是解題的關鍵．