Question

某電子科技公司開發一種新產品，公司對經營的盈虧情況每月最后一天結算1次．在1～12月份中，公司前x個月累計獲得的總利潤y（萬元）與銷售時間x（月）之間滿足二次函數關系式y=a（x-h）²+k，二次函數y=a（x-h）²+k的一部分圖象如圖所示，點A為拋物線的頂點，且點A、B、C的橫坐標分別為4、10、12，點A、B的縱坐標分別為-16、20．
（1）試確定函數關系式y=a（x-h）²+k；
（2）分別求出前9個月公司累計獲得的利潤以及10月份一個月內所獲得的利潤；
（3）在前12個月中，哪個月該公司一個月內所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意此拋物線的頂點坐標為（4，-16），設出拋物線的頂點式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入拋物線的頂點式中即可確定出拋物線的解析式；
（2）相鄰兩個月份的總利潤的差即為某月利潤．
（3）根據前x個月內所獲得的利潤減去前x-1個月內所獲得的利潤，再減去16即可表示出第x個月內所獲得的利潤，為關于x的一次函數，且為增函數，得到x取最大為12時，把x=12代入即可求出最多的利潤．
解答：解：（1）根據題意可設：y=a（x-4）²-16，
當x=10時，y=20，
所以a（10-4）²-16=20，解得a=1，
所求函數關系式為：y=（x-4）²-16．-------（4分）
（2）當x=9時，y=（9-4）²-16=9，所以前9個月公司累計獲得的利潤為9萬元，
又由題意可知，當x=10時，y=20，而20-9=11，
所以10月份一個月內所獲得的利潤11萬元．---------（4分）
（3）設在前12個月中，第n個月該公司一個月內所獲得的利潤為s（萬元）
則有：s=（n-4）²-16-[（n-1-4）²-16]=2n-9，
因為s是關于n的一次函數，且2＞0，s隨著n的增大而增大，
而n的最大值為12，所以當n=12時，s=15，
所以第12月份該公司一個月內所獲得的利潤最多，最多利潤是15萬元．--（4分）
點評：本題考查了二次函數的應用，主要考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，靈活運用二次函數的圖象與性質解決實際問題，是一道綜合題．