Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（不含端點）上的動點，過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點S．已知在線段RS上存在一點T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點E、F恰好分別在邊BC、AC上．
（1）證明：△SBR∽△ABC；
（2）證明：ST=AP；
（3）設AB=1，PA=x，正方形PTEF的面積為y，試求y與x的函數關系，并求出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先由PR⊥BC，RS是∠PRB的平分線，易證△ABC是等腰直角三角形，則可證得∠BRS=45°=∠C，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△SBR∽△ABC；
（2）根據AAS即可證得△SPT≌△AFP，又由全等三角形的對應邊相等，即可證得ST=AP；
（3）根據題意分別求得：BS，PS，ST，AP的值，又由勾股定理即可求得正方形PTEF的面積，由ST≤SP，即可求得x的取值范圍．

解答：（1）證明：∵PR⊥BC，RS是∠PRB的平分線，
∴∠BRS=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BRS=45°=∠C，∠B=∠B，
∴△SBR∽△ABC；

（2）證明：在△SPT和△AFP中，
∵TP=PF，
由（1）知：∠PST=∠FAP=90°，
又∵∠SPT+∠APF=∠APF+∠AFP=90°，
∴∠SPT=∠AFP，
∴△SPT≌△AFP，
∴ST=AP；

（3）解：∵AP=x，
∴BS=PS=

1-x

2

，
由（2）知：ST=AP=x，
∴正方形PTEF的面積y=PT²=PS²+ST²=（

1-x

2

）²+x²=

5

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
由圖知，ST≤SP，即x≤

1-x

2

，
∴x≤

1

3

，
∴x的取值范圍是：0＜x≤

1

3

．

點評：此題考查了全等三角形與相似三角形的判定與性質，以及勾股定理等知識的綜合應用．題目難度適中，注意數形結合思想的應用．