Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為D，連接BD，過(guò)點(diǎn)B作射線PD的垂線，垂足為C．

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）如果AB＝6，sin∠CBD，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)

【解析】

（1）連接OD，證明OD∥BC，再由OB=OD證明∠OBD=∠ODB，進(jìn)而得結(jié)論；
（2）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，解直角三角形得到BD=4，BC=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接OD，如圖1，

∵PD是⊙O的切線，

∴OD⊥PC，

∵BC⊥PC，

∴OD∥BC，

∴∠ODB＝∠CBD，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠CBD＝∠OBD，

即BD平分∠ABC；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵sin∠CBD＝sin∠ABD，AB＝6，

∴AD＝2，

∴BD＝4，

∵sin∠CBD，

∴CD，

∴BC，

∵OD∥BC，

∴△PDO∽△PCB，

∴，

∴，

∴PD．