Question

（2012•石景山區一模）已知二次函數y=x²-（2m+2）x+（m²+4m-3）中，m為不小于0的整數，它的圖象與x軸交于點A和點B，點A在原點左邊，點B在原點右邊．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）點C是拋物線與y軸的交點，已知AD=AC（D在線段AB上），有一動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度移動，同時，另一動點Q從點C出發，以某一速度沿線段CB移動，經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情況下，求四邊形ACQD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的圖象與x軸有兩個交點，得到△＞0，求出m的取值范圍，結合m為不小于0的整數，
求出m的整數解；再將整數解代入二次函數解析式，找到符合題意的二次函數；
（2）根據題意畫出圖象，證出DQ∥AC，從而得到△BDQ∽△BAC，然后利用相似三角形的性質求出t的值；
（3）由于△BDQ∽△BAC，求出S_△BAC=6，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出S_△DQB，二者相減，即可得到S_{四邊形ACQD}．

解答：解：（1）∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點，
∴△=[-（2m+2）]²-4（m²+4m-3）=-8m+16＞0，
∴m＜2．
∵m為不小于0的整數，
∴m取0、1．
當m=1時，y=x²-4x+2，圖象與x軸的兩個交點在原點的同側，不合題意，舍去；
當m=0時，y=x²-2x-3，符合題意．
∴二次函數的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD
∵CD垂直平分PQ，
∴DP=DQ，
∴∠ADC=∠CDQ．
∴∠ACD=∠CDQ，
∴DQ∥AC
∴△BDQ∽△BAC，
∴

DQ

AC

=

BD

AB

，
∵AC=

10

，BD=4-

10

，AB=4．
∴DQ=

10

-

5

2

，
∴PD=

10

-

5

2

．
∴AP=AD-PD=

5

2

，
∴t=

5

2

÷1=

5

2

，

（3）∵△BDQ∽△BAC，
∵AB=4，AD=AC=

12+32

=

10

，
∴BD=4-

10

，
∴

S△BDQ

S△BAC

=（

BD

AB

）²=（

4- 10

4

），
∵S_△BAC=6，
∴S_△BOQ=

39-12 10

4

，
∴S_{四邊形ACQD}=6-

39-12 10

4

=

12 10 -15

4

．

點評：本題考查了二次函數圖象與x軸的交點與判別式的關系，相似三角形的性質，坐標與圖形的面積等知識，綜合性很強，需要從各角度進行分析解答．