Question

【題目】如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC.已知AB＝5，DE＝2，BD＝12，設(shè)CD＝x.

(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；

(2)請問點(diǎn)C在BD上什么位置時(shí)，AC＋CE的值最小？

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）25

【解析】分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=24，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值就是代數(shù)式的最小值．

詳解：

(1)

(2)當(dāng)點(diǎn)C是AE和BD交點(diǎn)時(shí)，AC＋CE的值最小．

∵AB∥ED，AB＝5，DE＝2，

∴ ，

又∵BC＋CD＝BD＝12，則BC＝CD，

∴CD＋CD＝12，解得CD＝，BC＝.

故點(diǎn)C在BD上距離點(diǎn)B的距離為時(shí)，AC＋CE的值最小　

(3)如圖，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB＝4，ED＝3，DB＝24，連接AE交BD于點(diǎn)C，

∵AE＝AC＋CE＝

∴AE的長即為代數(shù)式的最小值．

過點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，則AB＝DF＝4，AF＝BD＝24，

所以AE＝＝25，

即AE的最小值是25.即代數(shù)式的最小值為25