Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點B（8，0）和點C（9， ）．拋物線（a，c是常數，a≠0）經過點B、C，且與x軸的另一交點為A．對稱軸上有一點M ，滿足MA=MC．

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求四邊形ABCM的面積；

（3）如果坐標系內有一點D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（， ）

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的解析式，求得拋物線的對稱軸，根據拋物線的對稱性求得點A的坐標，再將A、C的坐標代入函數解析式，求得a、c的值，即可求得這條拋物線的表達式；（2）因點M在對稱軸上，設M（4，y），由MA=MC，即,根據勾股定理列出方程 ，解得y=-3，即可得M（4，-3），再由四邊形ABCM為梯形，根據梯形的面積公式即可求得四邊形ABCM的面積；（3）用待定系數法求得直線BC的解析式，因AD//BC，即可求得直線AD的解析式，設D（x，-3x），根據勾股定理得方程解得x的值，即可求得點D的坐標.

試題解析：

（1）由題意得：拋物線對稱軸，即．

點B（8，0）關于對稱軸的對稱點為點A（0，0）∴，將C（9，-3）代入，得

∴拋物線的表達式：

（2）∵點M在對稱軸上，∴可設M（4，y）

又∵MA=MC，即

∴，解得y=-3，∴M（4，-3）

∵MC//AB且MC≠AB，∴四邊形ABCM為梯形，，AB=8，MC=5，AB邊上的高h=yM=3

∴

（3）將點B（8，0）和點C（9，﹣3）代入可得

，解得

由題意得．∵AD//BC，∴，

又∵AD過（0，0），DC=AB=8，設D（x，-3x），

，

解得（不合題意，舍去），,

∴，

∴點D的坐標．