Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點D是邊BC上(不與B，C重合)一動點，∠ADE＝∠B＝，DE交AC于點E，若△DCE為直角三角形，則BD的值為_______.

Answer 1

【答案】4或6.25

【解析】

因為∠C為定角，D、E為動點，所以△DCE為直角三角形有兩種情況：

①當∠DEC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖1，證明∠ADC=∠AED=90°，根據等腰三角形三線合一的性質可求出BD的長；

②當∠EDC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖2，作輔助線，證明△BFA∽△BAD，根據相似三角形的性質可求出BD的長．

分兩種情況：

①∠DEC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖1，

∴∠AED=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADE=∠C，

∵∠DAE=∠DAC，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∴AD⊥BC，

∴BD=BC=×8=4；

②當∠EDC=90°時，△DCE為直角三角形，如圖2，

過A作AF⊥BC于F，則BF=4，

∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，

∴∠EDC=∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠BFA=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BFA∽△BAD，

∴，

∵AB=5，

∴，

∴BD=6.25，

綜上所述，BD為4或6.25，

故答案為：4或6.25.