Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于點E．
（1）求證：△ABD≌△EBD；
（2）過點E作EF∥DA，交BD于點F，連接AF．求證：四邊形AFED是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠DBC．

∵BC=DC，

∴∠2=∠DBC．

∴∠1=∠2．

∵BA⊥AD，BE⊥CD

∴∠BAD=∠BED=90°，

在△ABD和△EBD中 ，

∴△ABD≌△EBD（AAS）

（2）證明：由（1）得，AD=ED，∠1=∠2．

∵EF∥DA，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴EF=ED．

∴EF=AD．

∴四邊形AFED是平行四邊形．

又∵AD=ED，

∴四邊形AFED是菱形．

【解析】（1）首先證明∠1=∠2．再由BA⊥AD，BE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共邊BD=BD可得△ABD≌△EBD；（2）首先證明四邊形AFED是平行四邊形，再有AD=ED，可得四邊形AFED是菱形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．