Question

【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；

（3）如圖②，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.

【解析】

（1）利用對稱性可得點D的坐標，利用交點式可得拋物線的解析式；

（2）設P（m，m2-4m+3），根據OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四種情況：

如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據OM=PN列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標．

（1）如圖1，設拋物線與x軸的另一個交點為D，

由對稱性得：D（3，0），

設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），

把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如圖2，設P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式為：y=x，

過P作PG∥y軸，交OE于點G，

∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，

∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，

=×3×3+PGAE，

=+×3×（-m2+5m-3），

=-m2+m，

=（m-）2+，

∵-＜0，

∴當m=時，S有最大值是；

（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN，

∵P（m，m2-4m+3），

則-m2+4m-3=2-m，

解得：m=或，

∴P的坐標為（，）或（，）；

如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN=FM，

則-m2+4m-3=m-2，

解得：x=或；

P的坐標為（，）或（，）；

綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）．