Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC邊上一動點（不含B，C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處，在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．

（1）發現：
△CMP和△BPA是否相似，若相似給出證明，若不相似說明理由；
（2）思考：
線段AM是否存在最小值？若存在求出這個最小值，若不存在，說明理由；
（3）探究：
當△ABP≌△ADN時，求BP的值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，

∴2∠NPM+2∠APE=180°，

∴∠MPN+∠APE=90°，

∴∠APM=90°，

∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，

∴∠CPM=∠PAB．

又∵∠C=∠B=90°，

∴△CMP∽△BPA．

（2）

設PB=x，則CP=4﹣x．

∵△CMP∽△BPA，

∴ ，

∴CM= x（4﹣x）．

如圖1所示：作MG⊥AB于G．

∵AM= = ，

∴AG最小值時，AM最小．

∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣2）2+3，

∴x=2時，AG最小值=3．

∴AM的最小值= =5．

（3）

∵△ABP≌△ADN，

∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，

又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，

∴∠EAP=∠EAN，

∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．

如圖2：在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z．

∴∠KPA=∠KAP=22.5°，

∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，

∴∠BPK=∠BKP=45°，

∴PB=BK=z，AK=PK= z，

∴z+ z=4，

∴z=4 ﹣4．

∴PB=4 ﹣4．

【解析】發現：先證明∠MPA=90°，然后依據同角的余角相等可證明∠CPM=∠PAB，結合條件∠C=∠B=90°，可證明量三角形相似；
思考：設PB=x，則CP=4﹣x，依據相似三角形的性質可得到CM= x（4﹣x），作MG⊥AB于G，依據勾股定理可得到AM= ，則AG最小值時，AM最小，然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG與x的函數關系，依據二次函數的性質可求得當x=2時，AG最小值=3；
探究：依據全等三角形的性質和翻折的性質可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z．然后可證明△BPK為等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK= z，最后依據AK+BK=4列出關于z的方程求解即可．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．