Question

已知：如圖，點O是平面直角坐標系的原點，點A的坐標為（0，-4），點B為x軸上一動點，以線段AB為邊作正方形ABCD（按逆時針方向標記），正方形ABCD隨著點B的運動而隨之相應變動．點E為y軸的正半軸與正方形ABCD某一邊的交點，設點B的坐標為（t，0），線段OE的長度為m．
（1）當t=3時，求點C的坐標；
（2）當t＞0時，求m與t之間的函數(shù)關系式；
（3）是否存在t，使點M（-2，2）落在正方形ABCD的邊上？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點C向x軸作垂線，構造△BFC≌△AOB，從而求出點C的坐標；
（2）分0＜t≤4和t＞4兩種情況討論，然后利用三角形相似求解；
（3）分t＜0，0＜t≤4和t＞4三種情況討論，結合圖形進行解答．

解答：解：（1）由點C向x軸作垂線，垂足為F，則△AOB≌△BFC，所以CF=BO=3，BF=OA=4，故點C的坐標為（-1，3）（3分）

（2）當0＜t≤4時，CB與y軸交于點E，∵∠OBE+∠OBA=90°，∠OBE+∠OEB=90°，∴∠OEB=∠OBA，又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOB∽△BOE，∴

AO

BO

=

OB

OE

，∴m=

1

4

t2；（5分）
當t＞4時，CD與y軸交于點E，∵∠OAB+∠EAD=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∴∠OAB=∠DEA，又∵∠AOB=∠ADE=90°，
∴△AOB∽△EDA，∴

AB

AE

=

OB

AD

，其中AB=AD=

16+t2

，AE=m+4，OB=t，∴m=t+

16

t

-4；（7分）
故m=

1 4 t2(0＜t＜4)  t+ 16 t -4  (t＞4)

；

（3）存在，
①當t≤0時
∵正方形ABCD位于x軸的下方（含x軸）∴此時不存在（8分）
②當0＜t≤4時，
當點M在BC邊上時，t=2，或t=-4（舍）（9分）
當點M在CD邊上時，t=2，或t=4（10分）
③當t＞4時，
當點M在CD邊上時，t=2（舍）；t=4（舍） （11分）
當點M在AD邊上時，t=12 （12分）
綜上所述：存在，符合條件的t的值為2、4、12．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．搞清楚B點運動時y軸與正方形邊長的位置關系，及正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．