Question

【題目】如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F.

(1)求證：OE是CD的垂直平分線.

(2)若∠AOB=60°，請你探究OE，EF之間有什么數量關系?并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) OE=4EF.

【解析】試題分析：（1）先證△ODE≌△OCE，得出△DOC是等腰三角形，再根據等腰三角形三線合一得出OE是CD的垂直平分線；（2）分別求出∠AOE=30°，∠EDF=30°，根據直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半求解.

解：(1)∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，又∵OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

又∵OE是∠AOB的平分線，

∴OE是CD的垂直平分線；

(2)∵OE是∠AOB的平分線,∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵ED⊥OA，CD⊥OE，

∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF.