Question

（2005•泉州質檢）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=6cm，正方形DEFG的邊長為2cm，其一邊EF在BC所在的直線L上，開始時點F與點C重合，讓正方形DEFG沿直線L向右以每秒1cm的速度作勻速運動，最后點E與點B重合．
（1）請直接寫出該正方形運動6秒時與△ABC重疊部分面積的大小；
（2）設運動時間為x（秒），運動過程中正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y（cm²）．
①在該正方形運動6秒后至運動停止前這段時間內，求y與x之間的函數關系式；
②在該正方形整個運動過程中，求當x為何值時，y=．

Answer 1

【答案】分析：（1）運動6秒時，AB正好與正方形的對角線重合（F與B重合），那么重疊的面積正好是正方形面積的一半．
（2）①當x=6時，B與F重合，當x=8時，E與B重合，因此這期間，重疊的部分是個三角形，可用x表示出兩直角邊，然后得出x、y的函數關系式．
②可根據x的不同取值范圍和（1）（2）①中得出的結論進行判斷．
解答：解：（1）如圖1，重疊部分的面積為×2²=2cm²

（2）①當正方形停止運動時，點E與點B重合，此時x=8，如圖2，

當6＜x＜8時，設正方形DEFG與AB交于點M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重疊部分面積：y=S_△MEB=•EB²=（8-x）²
②在正方形運動過程中，分四種情況：當0＜x＜2時，如圖3，

重疊部分面積y=2x，且0＜y＜4
令y=，得2x=，解得x=
當2≤x≤4時，如圖4，

重疊部分面積都為4cm²，此時y≠
當4＜x≤6時，如圖5，

易見重疊部分面積y隨x的增大而減小
由上面得出的結論知當x=4時，y=4；由（1）知當x=6時，y=2
∴2≤y＜4，此時y≠
當6＜x＜8時，由（2）①已求得y=（8-x）²=（x-8）²，
∵y隨x的增大而減小，又當x=6時，y=2，當x=8時，y=0時，
∴0＜y＜2
令y=（x-8）²=，解得x₁=7，x₂=9（不合題意，舍去）
∴x=7
綜上，當x=或x=7時，y=．
點評：本題考查了正方形的性質以及二次函數的綜合應用，本題中高清不同的時段正方形與三角形的不同位置關系式解題的關鍵．