Question

【題目】如圖1，長方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．點E為射線DC上的一個動點，把△ADE沿直線AE翻折得△AD′E．

（1）當D′點落在AB邊上時，∠DAE＝　 　°；

（2）如圖2，當E點與C點重合時，D′C與AB交點F，

①求證：AF＝FC；②求AF長．

（3）連接D′B，當∠AD′B＝90°時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）①見解析；②AF＝6.8；（3）DE＝2或18．

【解析】

（1）由△ADE≌△AD′E知∠DAE＝∠D′AE，結合D′點落在AB邊上知∠DAE+∠D′AE＝90°，從而得出答案；

（2）①由折疊得出∠ACD＝∠ACD′，再由AB∥CD得出∠ACD＝∠BAC，從而得知∠ACD′＝∠BAC，據此即可得證；

②設AF＝FC＝x，則BF＝10﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2＝CF2得到關于x的方程，解之可得；

（3）分兩種情況：點E在DC線段上，點E為DC延長線上的一點，進一步分析探討得出答案即可．

解：（1）由題意知△ADE≌△AD′E，

∴∠DAE＝∠D′AE，

∵D′點落在AB邊上時，∠DAE+∠D′AE＝90°，

∴∠DAE＝∠D′AE＝45°，

故答案為：45；

（2）①如圖2，由題意知∠ACD＝∠ACD′，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC，

∴∠ACD′＝∠BAC，

∴AF＝FC；

②設AF＝FC＝x，則BF＝10﹣x，

在Rt△BCF中，由BF2+BC2＝CF2得（10﹣x）2+62＝x2，

解得x＝6.8，即AF＝6.8；

（3）如圖3，

∵△AD′E≌△ADE，

∴∠AD′E＝∠D＝90°，

∵∠AD′B＝90°，

∴B、D′、E三點共線，

又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，

∴△ABD′≌△BEC，

∴BE＝AB＝10，

∵BD′＝＝＝8，

∴DE＝D′E＝10﹣8＝2；

如圖4，

∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，

∴∠CBE＝∠BAD″，

在△ABD″和△BEC中，

∵，

∴△ABD″≌△BEC，

∴BE＝AB＝10，

∴DE＝D″E＝8+10＝18．

綜上所知，DE＝2或18．