Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E，點F分別是邊BC，邊CD上的動點，且BE＝CF，AE與BF相交于點P．若點M為邊BC的中點，點N為邊CD上任意一點，則MN+PN的最小值等于_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作M關于CD的對稱點Q，取AB的中點H，連接PQ與CD交于點N'，連接PH，HQ，當H、P、N'、Q四點共線時，MN+NP＝PQ的值最小，根據勾股定理HQ，再證明△ABE≌△BCF，進而得△APB為直角三角形，由直角三角形的性質，求得PH，進而求得PQ．

解：作M關于CD的對稱點Q，取AB的中點H，連接PQ與CD交于點N'，連接PH，HQ，則MN'＝QN'，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠AEB＝∠BFC，

∵AB∥CD，

∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE+∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴PH＝，

∵M點是BC的中點，

∴BM＝MC＝CQ＝，

∵PH+PQ≥HQ，

∴當H、P、Q三點共線時，PH+PQ＝HQ＝ 的值最小，

∴PQ的最小值為，

此時，若N與N'重合時，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝的值最小，

故答案為．