Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點F，交AB的延長線于點E．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當BD=3，DF= 時，求直徑AB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OD．

∵EF⊥AC，

∴∠DFA=90°，

∵AB=AC，

∴∠1=∠C，

∵OB=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠C，

∴OD∥AC，

∴∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．

∴EF是⊙O的切線

（2）解：連結AD，

∵AB是直徑

∴AD⊥BC，

又AB=AC，

∴CD=BD=3，

在Rt△CFD中，DF= ，

∴CF= = ，

在Rt△CFD中，DF⊥AC，

∴△CFD∽△DFA，

∴ = ，即AF= = ，

∴AC=CF+AF= + =5，

∴AB=AC=5．

【解析】（1）連結OD．根據垂直的定義得到∠DFA=90°，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠C，∠1=∠2，等量代換得到∠2=∠C，根據平行線的性質得到∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．于是得到結論；（2）連結AD，根據勾股定理得到CF= = ，根據相似三角形的性質得到AF= = ，于是得到結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)．