Question

【題目】在圓中，、是圓的半徑，點在劣弧上，，，，連接.

（1）如圖1，試說明：平分；

（2）如圖2，點在弦的延長線上，連接，如果是直角三角形，求的長；

（3）如圖3，點在弦上，與點不重合，連接與弦交于點，設點與點的距離為，的面積為，求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的長為4或8；（3）， .

【解析】

（1）由AO=BO知∠OAB=∠B，根據OB∥AC知∠B=∠CAB，據此可得∠OAB=∠CAB，即可得證；
（2）①∠AMB=90°時，作OH⊥AC可得AH=HC=AC=6，由勾股定理求得OH=BM=8，根據矩形OBMH知HM=OB=10，由CM=HM-HC可得答案；②∠ABM=90°時，由①可知AB=8、cos∠CAB，在Rt△ABM中根據cos∠CAB= 可得AM=20，繼而得出答案；
（3）作OG⊥AB，由（1）知sin∠OAG=sin∠CAB，從而sin∠CAB= ，結合OA=10求得OG=2，根據AC∥OB知 ，即，據此求得BE=，利用y=×BE×OG可得答案．

（1）證明：∵、是圓的半徑，

∴∴.

∵，∴，∴，

∴平分；

（2）解：由題意可知不是直角，

所以是直角三角形只有以下兩種情況：

和，

①當，點的位置如圖，

過點作，垂足為點，

∵經過圓心∴，

∵，∴，

在中，，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴四邊形是矩形，∴，

∴；

②當，點的位置如圖，

由①可得，，

在中，，

∴，

，

綜上所述，的長為4或8.

（3）過點作，垂足為點，

由（1）、（2）可知，，

由（2）可得：，

∵∴，

∵∴，

又，，，

∴∴，

∴，

∴，

自變量的取值范圍為.