Question

在學習了投影知識后，小剛和小亮利用“同一時刻太陽光下物長與影長成比例”的原理測得某棵大樹的高為8米，當他們又一次經過這棵大樹時，發現大樹的影子落在了有個圓弧形小橋的路上，小剛突發奇想：能不能測出這個圓弧形小橋所在圓的半徑呢？請你也加入他們的行列，測出小橋的半徑吧！

（1）如圖，AB為小亮、BC為他的影子，DE為大樹，請你在圖中畫出這棵大樹的影子（影子的另一個端點用F表示），尺規作圖，保留作圖痕跡；
（2）在（1）的基礎上，已知小亮的身高AB為1.6米，測得小亮的影長BC為2.4米，同一時刻測得EG的長為2.5米，HF的長為1.5米，又測得小橋的拱高（弦GH的中點與的中點之間的距離）為2米，求圓弧形小橋所在圓的半徑．

Answer 1

解：（1）如圖所示，EF即為大樹的影子；

（2）根據題意得，=，
即=，
解得EF=12，
∵EG的長為2.5米，HF的長為1.5米，
∴GH=12-2.5-1.5=8，
設圓弧形小橋所在圓的半徑為r，
則（）²+（r-2）²=r²，
解得r=5，
答：圓弧形小橋所在圓的半徑為5米．
分析：（1）連接AC，以點D為頂點，DE為一邊作∠D=∠A，∠D的另一邊與直線EH相交于F，EF即為大樹的影子；
（2）先根據同時同地的物高與影長成正比求出大樹的影長，再求出GH，然后根據垂徑定理，利用勾股定理列式計算即可得解．
點評：本題考查了相似三角形的應用，垂徑定理的應用，考慮到作平行線是解題的關鍵．