Question

【題目】如圖1，地面BD上兩根等長立柱AB，CD之間懸掛一根近似成拋物線y= x2﹣x+3的繩子．

（1）求繩子最低點離地面的距離；

（2）因實際需要，在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線F1的最低點距MN為1米，離地面1.8米，求MN的長；

（3）將立柱MN的長度提升為3米，通過調整MN的位置，使拋物線F2對應函數的二次項系數始終為，設MN離AB的距離為m，拋物線F2的頂點離地面距離為k，當2≤k≤2.5時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m；（2）MN的長度為2.1m；（3）m的取值范圍是4≤m≤8﹣2．

【解析】

試題分析：（1）直接利用配方法求出二次函數最值得出答案；（2）利用頂點式求出拋物線F1的解析式，進而得出x=3時，y的值，進而得出MN的長；（3）根據題意得出拋物線F2的解析式，得出k的值，進而得出m的取值范圍．

試題解析：（1）∵a=＞0，

∴拋物線頂點為最低點，

∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+ ，

∴繩子最低點離地面的距離為：m；

（2）由（1）可知，對稱軸為x=4，則BD=8，

令x=0得y=3，

∴A（0，3），C（8，3），

由題意可得：拋物線F1的頂點坐標為：（2，1.8），

設F1的解析式為：y=a（x﹣2）2+1.8，

將（0，3）代入得：4a+1.8=3，

解得：a=0.3，

∴拋物線F1為：y=0.3（x﹣2）2+1.8，

當x=3時，y=0.3×1+1.8=2.1，

∴MN的長度為：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，

∴根據拋物線的對稱性可知拋物線F2的頂點在ND的垂直平分線上，

∴拋物線F2的頂點坐標為：（m+4，k），

∴拋物線F2的解析式為：y=（x﹣m﹣4）2+k，

把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k=3，

解得：k=﹣（4﹣m）2+3，

∴k=﹣（m﹣8）2+3，

∴k是關于m的二次函數，

又∵由已知m＜8，在對稱軸的左側，

∴k隨m的增大而增大，

∴當k=2時，﹣（m﹣8）2+3=2，

解得：m1=4，m2=12（不符合題意，舍去），

當k=2.5時，﹣（m﹣8）2+3=2.5，

解得：m1=8﹣2 ，m2=8+2（不符合題意，舍去），

∴m的取值范圍是：4≤m≤8﹣2．