Question

（2012•河南）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

1

2

x+1與拋物線y=ax²+bx-3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A、B點重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）設點P的橫坐標為m．
①用含有m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連接PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，直接寫出m的值，使這兩個三角形的面積之比為9：10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直線AB的解析式，首先能確定A、B點的坐標，然后利用待定系數法確定a、b的值；若設直線AB與y軸的交點為E，E點坐標易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，則∠ACP的正弦值可得．
（2）①已知P點橫坐標，根據直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標，由此得到線段PC的長；在Rt△PCD中，根據（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表達式，再根據所得函數的性質求出PD長的最大值．
②在表達△PCD、△PBC的面積時，若都以PC為底，那么它們的面積比等于PC邊上的高的比．分別過B、D作PC的垂線，首先求出這兩條垂線段的表達式，然后根據題干給出的面積比例關系求出m的值．

解答：解：（1）由

1

2

x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由

1

2

x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax²+bx-3經過A、B兩點，
∴

(-2)2•a-2b-3=0 42•a+4b-3=3

∴

a= 1 2 b=- 1 2

，
則拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

1

2

x-3，
設直線AB與y軸交于點E，則E（0，1）．
∵PC∥y軸，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO=

OA

AE

=

2

5

=

2 5

5

．

（2）①由（1）知，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-3．則點P（m，

1

2

m²-

1

2

m-3）．
已知直線AB：y=

1

2

x+1，則點C（m，

1

2

m+1）．
∴PC=

1

2

m+1-（

1

2

m²-

1

2

m-3）=-

1

2

m²+m+4=-

1

2

（m-1）²+

9

2

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-

1

2

（m-1）²+

9

2

]•

2 5

5

=-

5

5

（m-1）²+

9 5

5

∴PD長的最大值為：

9 5

5

．

②如圖，分別過點D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分別為F、G．
∵sin∠ACP=

2 5

5

，
∴cos∠ACP=

1

5

，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=

DF

DP

=

1

5

，
在Rt△PDF中，DF=

1

5

PD=-

1

5

（m²-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴

S△PCD

S△PBC

=

DF

BG

=

- 1 5 (m2-2m-8)

4-m

=

m+2

5

．
當

S△PCD

S△PBC

=

m+2

5

=

9

10

時，解得m=

5

2

；
當

S△PCD

S△PBC

=

m+2

5

=

10

9

時，解得m=

32

9

．

點評：本題考查了二次函數的應用以及解析式的確定、解直角三角形、圖形面積的求法等知識，主要考查學生數形結合思想的應用能力．