Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，BC=6， ．求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）2.5

【解析】試題分析：（1）連OD，OE，根據圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根據已知條件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性質得到，求得CD=4，由切線的性質得到BE=DE，BE⊥BC根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：（1）連結OD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠BDO， ∵∠CDA=∠CBD， ∴∠CDA=∠ODB，

又∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠ODB=90°， ∴∠ADO+∠CDA=90°， 即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD， ∵OD是⊙O半徑， ∴CD是⊙O的切線

（2）∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD ∴△CDA∽△CBD ∴∵，BC=6， ∴CD=4，

∵CE，BE是⊙O的切線 ∴BE=DE，BE⊥BC ∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2 解得：BE=2.5