Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把邊長(zhǎng)分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的n個(gè)正方形依次放入△ABC中，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）按要求填表：

n	1	2	3
xn

（2）第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)x_n=

 

；
（3）若m，n，p，q是正整數(shù)，且x_m•x_n=x_p•x_q，試判斷m，n，p，q的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，其它正方形的邊長(zhǎng)求法相同；
（2）根據(jù)所求x_n的一般式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x，則

DE

AC

=

BD

AB

=

x

2

，
同理得到

DF

BC

=

AD

AB

=x，
兩式相加得到

x

2

+x=1
解得x=

2

3

，
同理解得：第二個(gè)的邊長(zhǎng)是

4

9

=(

2

3

)2，第三個(gè)的邊長(zhǎng)是

8

27

=(

2

3

)3；

n	1	2	3
xn	2 3	4 9	8 27

（2）依此類(lèi)推，第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是(

2

3

)n；

（3）∵x_m•x_n=x_p•x_q，∴(

2

3

)m•(

2

3

)n=(

2

3

)p•(

2

3

)q
∴(

2

3

)m+n=(

2

3

)p+q
∴m+n=p+q．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等求出邊長(zhǎng)，是解決本題的關(guān)鍵．