Question

已知，如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，且CD是⊙O的直徑，AB∥CD．
（1）求證：AD=BC；
（2）如果∠ADC=75°，CD=4cm，求

AB

的長及四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據兩平行線之間所夾弧相等，即可得出

BC

=

AD

，進而得出AD=BC．
（2）根據已知條件求出∠AOB的度數，再利用弧長公式首先求出弧長，再利用勾股定理求出梯形的高以及上底長，即可求出梯形面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，AB∥CD．
∴

BC

=

AD

（夾在兩平行線之間的弧相等），
∴AD=BC（在同圓或等圓中相等的弧所對弦相等）；

（2）解：連接AO，BO，
∵∠ADC=75°，
∴∠OAD=75°，
∴∠DOA=30°，
∵AD=BC，AB∥CD，
∴∠BCD=75°，
∴∠COB=30°，
∴∠AOB=180°-∠AOD-∠COB=180°-30°-30°=120°，
∵CD=4cm，
∴DO=CO=2cm，
∴

AB

的長為：

120π×2

180

=

4

3

πcm；
作OE⊥AB，垂足為E，
∵∠COB=30°，AB∥CD，
∴∠EBO=30°，
∵BO=2cm．
∴EO=1cm（在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半），
∵EO⊥AB，
∴BE=AE=

2 2-12

=

3

cm，
∴AB=2

3

cm，
∴四邊形ABCD的面積為：

1

2

×（AB+CD）×EO=

1

2

×（2

3

+4）×1=（

3

+2）cm²．

點評：此題主要考查了弧長公式的應用以及梯形面積求法，根據已知得出∠AOB的度數以及梯形的高與上底長是解題關鍵．