Question

已知拋物線y=x²-2x+m與x軸有兩個不同交點A（x₁，0）、B（x₂，0）并且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=4，
①求這條拋物線的解析式；
②設拋物線的頂點為C，P是拋物線上一點，且∠PAC=90°，求P點坐標及△PAC內切圓的面積．

Answer 1

分析：（1）由根與系數的關系得出x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，把已知轉化成含有以上兩式的形式代入即可求出m，即可求出答案；
（2）求出A、B、C的坐標，設P的坐標是（x，x²-2x），根據勾股定理求出x，即得到P的坐標，根據勾股定理求出PA、AC、PC的值，設△PAC的內切圓的半徑是r，根據三角形的面積公式得出S_△PAC=

1

2

PA×AC=

1

2

PA•r+

1

2

PC•r+

1

2

AC•r，代入求出r，即可求出答案．

解答：解：（1）當y=0時，x²-2x+m=0，
由根與系數的關系得：x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
∵x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，
∴4-2m=4，
∴m=0，
即拋物線的解析式是y=x²-2x，
答：這條拋物線的解析式是y=x²-2x．
（2）解：y=x²-2x=x（x-2）=（x-1）²-1，
∴A（0，0），B（2，0），C（1，-1），
設P的坐標是（x，x²-2x），
由勾股定理得：PA²+AC²=PC²，
∴x²+（x²+2x）²+1²+1²=（x-1）²+（x²-2x+1）²，
解得：x₁=0（因為此時與A重合，舍去），x₂=3，
x²-2x=3，
∴P的坐標是（3，3），
由勾股定理求出AC=

2

，PA=3

2

，PC=2

5

，
設△PAC的內切圓的半徑是r，
根據三角形的面積公式得：S_△PAC=

1

2

PA×AC=

1

2

PA•r+

1

2

PC•r+

1

2

AC•r，
∴

1

2

×3

2

×

2

=

1

2

×3

2

×r+

1

2

×2

5

×r+

1

2

×

2

×r，
解得：r=2

2

-

5

，
∴圓的面積是πr²=π(2

2

-

5

)2=13π-4

10

π，
答：P點坐標是（3，3），△PAC內切圓的面積是13π-4

10

π．

點評：本題主要考查對解一元一次方程，根與系數的關系，三角形的面積，三角形的內切圓與內心，勾股定理，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．