Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,點D是AC的中點,將一塊銳角為45°的直角三角板ADE如圖放置,連接BE,EC.下列判斷:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=DE.其中正確的有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據AC=2AB，點D是AC的中點求出AB=CD，再根據△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCE全等，從而判斷出①小題正確；根據全等三角形對應邊相等可得BE=EC，從而判斷出②小題正確；根據全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，從而判斷出③小題正確；根據等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根據勾股定理用DE與EC表示出BC，整理即可得解，從而判斷出④小題錯誤．

解：∵AC=2AB，點D是AC的中點，
∴CD=AC=AB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小題正確；
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小題正確；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，故③小題正確；
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=DE，
∵AC=2AB，點D是AC的中點，
∴AB=DE，AC=2DE，
在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=（DE）2+（2DE）2=10DE2，
∵BE=EC，BE⊥EC，
∴BC2=BE2+EC2=2EC2，
∴2EC2=10DE2，
解得EC=DE，故④小題錯誤，
綜上所述，判斷正確的有①②③共3個．
故選：C．